बैकगैमौन संभावना की मूल बातें
बैकगैमौन का हर फैसला असल में एक संभावना का सवाल है: मेरे मारे जाने की कितनी संभावना है, बार से भीतर आने की, यह दौड़ जीतने की? अच्छी बात यह है कि खेल की पूरी गणितीय बुनियाद एक ही पन्ने पर समा जाती है, इसी पन्ने पर।
36 संयोजन
दो पासे 36 समान रूप से संभव संयोजन (6 × 6) बनाते हैं। चूँकि 6-2 और 2-6 एक ही तरह खेले जाते हैं, खिलाड़ी 21 अलग पासों की बात करते हैं, 15 मिश्रित पासे और 6 दुगने, पर खेल की हर संभावना 36 में से गिनने से निकलती है:
- हर मिश्रित पासा (जैसे 6-5) 36 में से 2 तरीक़ों से आता है, लगभग 5.6%।
- हर दुगना 36 में से ठीक 1 तरीक़े से आता है, लगभग 2.8%।
- कोई भी दुगना: 6/36 = हर फेंक पर 6 में से 1।
- कम से कम एक विशेष अंक (मान लें कम से कम एक 6): 11/36, दोनों दिशाओं के 6-x (10) और साथ में 6-6 (1)।
यही आख़िरी संख्या असली मेहनतकश है: आपको जो भी अकेला अंक चाहिए, मारने को, भीतर आने को, भागने को, वह 36 में से 11 पासों पर आता है, ठीक एक तिहाई से थोड़ा कम।
हर दूरी पर मारने की संभावना
आपके ब्लॉट के मारे जाने की कितनी संभावना है? उसके और हर शत्रु गोटी के बीच के पिप गिनें और तालिका पढ़ें। ये वे चिरपरिचित बिना-रुकावट वाली संख्याएँ हैं, बीच में बने हुए बिंदु इन्हें केवल घटा सकते हैं, क्योंकि वे संयोजन-पासों को मार डालते हैं।
| दूरी (पिप) | मारने वाले पासे | संभावना |
|---|---|---|
| 1 | 11/36 | 31% |
| 2 | 12/36 | 33% |
| 3 | 14/36 | 39% |
| 4 | 15/36 | 42% |
| 5 | 15/36 | 42% |
| 6 | 17/36 | 47% |
| 7 | 6/36 | 17% |
| 8 | 6/36 | 17% |
| 9 | 5/36 | 14% |
| 10 | 3/36 | 8% |
| 11 | 2/36 | 6% |
| 12 | 3/36 | 8% |
| 15 / 16 / 18 / 20 / 24 | हर एक 1/36 | 3% |
दो सबक साफ़ उभरते हैं। पहला, सीधे शॉट (दूरी 6 या कम) सब ख़तरनाक हैं, एक तिहाई से लगभग आधे तक, और 6 सबसे ख़तरनाक अकेली दूरी है, 17/36 पर, क्योंकि 6 वाले 11 पासों में जोड़ के अंक भी शामिल हो जाते हैं: 5-1 और 4-2 (दोनों दोनों दिशाओं में), 3-3, और यहाँ तक कि 2-2 (तीन दो)। दूसरा, 6 और 7 पिप के बीच की खाई विशाल है: 47% गिरकर 17% हो जाता है। जब आपको ब्लॉट छोड़ना ही पड़े, तो उसे 6 या कम के बजाय 7 या अधिक पिप दूर छोड़ना अक्सर सुरक्षित खेल और हारे हुए खेल के बीच का पूरा फ़र्क होता है।
बार से भीतर आना
वही 11/36 का तर्क दोबारा भीतर आने को चलाता है। प्रतिद्वंद्वी के घर-बोर्ड में हर खुला बिंदु आपको भीतर आने के अंक देता है; n बिंदु खुले होने पर कम से कम एक गोटी से भीतर आने की आपकी संभावना है:
- 5 बिंदु खुले: 35/36 (97%)
- 4 बिंदु खुले: 32/36 (89%)
- 3 बिंदु खुले: 27/36 (75%)
- 2 बिंदु खुले: 20/36 (56%)
- 1 बिंदु खुला: 11/36 (31%)
इसीलिए जल्दी की मार सस्ती होती है (शुरुआती बोर्ड में पाँच बिंदु खुले होते हैं) और किसी मज़बूत बोर्ड के विरुद्ध देर की मार विनाशकारी, और इसीलिए हमला करने से पहले घर-बोर्ड के बिंदु बनाना कोई नुक्ताचीनी नहीं बल्कि गणित है। बार की कार्य-विधि नियम-संदर्भिका में है।
पिप गिनती: दौड़ को नापना
पिप गिनती उन पिपों का कुल है जो किसी खिलाड़ी को अपनी पंद्रहों गोटियाँ घर लाकर बाहर निकालने के लिए अब भी चाहिए। हर गोटी के बिंदु-अंक को उस पर की गोटियों की संख्या से गुणा करें और सब जोड़ लें। शुरुआती स्थिति से दोनों खिलाड़ी 167 गिनते हैं: 2×24 + 5×13 + 3×8 + 5×6।
यह गिनती "कौन जीत रहा है?" को एक संख्या में बदल देती है:
- स्पष्ट रूप से आगे (मान लें अपनी गिनती का 10% या अधिक): संपर्क तोड़ें और दौड़ें, मारों का हर आदान-प्रदान केवल पिछड़ने वाले को मदद कर सकता है।
- स्पष्ट रूप से पीछे: दौड़ें नहीं। एक लंगर रखें, संपर्क बनाए रखें, मारने के लिए खेलें।
- क़रीबी दौड़: स्थिति तय करती है, ढाँचा, ब्लॉट और घर-बोर्ड चंद पिपों से अधिक मायने रखते हैं।
आपको हर बारी पूरी गिनती दोबारा करने की ज़रूरत नहीं। एक बार गिनें, फिर थोड़ा-थोड़ा अद्यतन करते रहें: आपका पासा अपने पिप आपकी गिनती से घटाता है, और मार शिकार की गिनती में लौटने की पूरी दूरी जोड़ देती है। प्रतिद्वंद्वी के 5-बिंदु पर मारा जाना 20 पिप का पड़ता है; घर के पास मारा जाना बहुत भारी पड़ता है, संभावना और दौड़ एक ही विषय हैं।
दुगने गणित बदल देते हैं
दुगने हर अंक को चार बार खेलते हैं, इसलिए 6-6 चौबीस पिप चलाता है, खेल का सबसे बड़ा अकेला फेंक, जबकि औसत पासा लगभग 8.17 पिप चलाता है। हर छह में एक फेंक का दुगना होना यह भी कारण है कि दौड़ें कभी पूरी तरह ख़त्म नहीं होतीं: एक-दो बड़े दुगनों के भीतर पिछड़ने वाले खिलाड़ी के पास हमेशा असली मौक़े होते हैं, और यह सीधे क्यूब के फैसलों और गैमौन के मोल में जा मिलता है।
एक हल किया हुआ उदाहरण
मान लें आपको एक ब्लॉट छोड़ना ही है, और विकल्प है किसी शत्रु बिंदु से 5 पिप आगे की गोटी या 8 पिप आगे की। तालिका कहती है 15/36 बनाम 6/36, "अधिक सुरक्षित दिखने वाला" पास वाला ब्लॉट ढाई गुना अधिक मारे जाने की संभावना रखता है। अब संदर्भ जोड़ें: अगर प्रतिद्वंद्वी के घर-बोर्ड में चार बिंदु बने हैं, तो मारा जाना संभवतः खेल की क़ीमत ले लेगा, इसलिए 8-पिप वाली चाल लगभग अनिवार्य है; अगर उसका बोर्ड खुला पड़ा है, तो मारा जाना केवल एक दोबारा-प्रवेश और चंद पिप की क़ीमत का है, और आपकी स्थिति बनाने वाली एक साहसी चाल सही हो सकती है। यही दो-कदम की आदत, कच्ची संभावना पढ़ें, फिर बुरे नतीजे की क़ीमत तौलें, पूरी विधि है, और यह मारों, बँटाइयों, स्लॉटों और क्यूब के फैसलों सब पर बराबर लागू होती है।
मेज़ पर संख्याओं का इस्तेमाल
बोर्ड पर कोई हिसाब नहीं लगाता; मज़बूत खिलाड़ी बस मुट्ठी भर सीमाएँ पहचान लेते हैं: कोई भी अंक 11/36 है, सीधे शॉट ख़तरनाक और 6 सबसे बुरा, 7 या अधिक पिप सुरक्षा की खाई है, दुगने 6 में 1 हैं, दौड़ 167 से शुरू होती है। इन्हें शुरुआती आदतों और रोलआउट-अनुमोदित शुरुआती चालों के साथ मिलाएँ, और आपकी "क़िस्मत" उल्लेखनीय रूप से सुधरेगी। फिर इसे वहाँ आज़माएँ जहाँ पासे प्रमाणनीय रूप से ईमानदार हैं, अपने ब्राउज़र में मुफ़्त खेलें ऐसे पासों के साथ जिन्हें आप स्वयं जाँच सकते हैं।